分治法

分治法的基本概念：

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

​ 任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

基本思想及策略：

分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

分治法适用的情况：

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

• 第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
• 第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
• 第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
• 第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

分治法的基本步骤：

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
2. 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：

​ Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题
7. return(T)

​ 其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

分治法的复杂性分析：

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：

T（n）= k T(n/m)+f(n)

​ 通过迭代法求得方程的解：

​ 递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当 mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

可使用分治法求解的一些经典问题：

1. 二分搜索
2. 大整数乘法
3. Strassen矩阵乘法
4. 棋盘覆盖
5. 合并排序
6. 快速排序
7. 线性时间选择
8. 最接近点对问题
9. 循环赛日程表
10. 汉诺塔

依据分治法设计程序时的思维过程：

实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

1. 一定是先找到最小问题规模时的求解方法
2. 然后考虑随着问题规模增大时的求解方法
3. 找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

分治法的程序示例：

旋转数组的最小数字（改造二分法）：

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如数组{3， 4， 5， 1， 2}为{1，2， 3， 4, 5}的一个旋转，该数组的最小值为1.

public class 旋转数组的最小数字 {

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = { 4, 5, 6, 1, 2, 3};
		System.out.println(minNum(arr));
		int[] arr1 = {35, 42, 52, 80, 10, 23};
		System.out.println(minNum(arr1));

	}

	public static int minNum(int[] arr) {
		int begin = 0;
		int end = arr.length - 1;
		if(arr[begin] < arr[end])
			return arr[begin];
		while (begin + 1 < end) {
			int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
			if(arr[mid] >= arr[begin]) {
				begin = mid;
			}else {
				end = mid;
			}
		}
		return arr[end]; 
	}
}

程序运行结果：

1
10

在有空字符串的有序字符串数组中查找：

有个排序后的字符串数组，其中散步这一些空字符串，编写一个方法，找出给定字符创（肯定不是空字符串）的索引。

public class 字符串查找 {

	public static void main(String[] args) {
		String[] arr = {"a", "", "ac", "", "", "ad", "", "b", "", "ba"};
		int res = indexOf(arr, "b");
		System.out.println(res);
		res = indexOf(arr, "ac");
		System.out.println(res);
	}
	
	public static int indexOf(String[] arr, String s) {
		int begin = 0;
		int end = arr.length - 1;
		while(begin <= end) {
			int indexOfMid = begin + ((end - begin) >> 1);
			while (arr[indexOfMid].equals("")) {
				indexOfMid++;
                if(indexOfMid>end)
                    return -1;
			}
			if(arr[indexOfMid].compareTo(s) > 0) {
				end = indexOfMid - 1;
			}else if(arr[indexOfMid].compareTo(s) < 0) {
				begin = indexOfMid + 1;
			}else {
				return indexOfMid;
			}
		}
		return -1;
	}

}

程序运行结果：

7
2